“碰運氣” (Sic Bo)

男:下次去遊樂園,不要參加“碰碰運氣”的遊戲!很多人會因為玩這種遊戲而被愚弄,因為他們認為他們不會犯錯。

M:“碰巧”遊戲是將三個骰子放在一個籠子裡,翻轉並搖晃籠子使骰子滾動。玩家可以下注1到6之間的任意數字,只要骰子出現他說的數字,他就會得到他下注的金額。參加者經常這樣想:如果這個籠子裡只有一個骰子,我下注的數字只能出現六次。如果有兩個骰子,它們將在六個骰子中出現兩次。當有三個骰子時,六次中將有三場胜利。這是平等的賭博!

M:“但是,我的機會更大!如果我賭一個數字,比如 5,就賭 1 美元。如果有兩個 5 點的骰子,我就贏了 2 美元;如果三個骰子都是 5,我就贏了3塊錢,這遊戲絕對適合我!”

M:因為老主顧這麼認為,難怪賭場操盤手成為百萬富翁!你能解釋一下為什麼“碰碰運氣”的遊戲會讓賭場老闆贏很多錢嗎?

試試你的運氣”是一種在美國和海外的許多賭場玩的賭博遊戲。在英國,這種賭博可以追溯到十九世紀初,當時被稱為“汗水圍巾”。最近被稱為“鳥籠”。在英國和澳大利亞的酒吧里,這種賭博的三個骰子印在鐵鍬、鑽石、心形、棍棒、皇冠、錨上,被稱為皇冠和錨。

操場上,操盤手為了招攬顧客大喊:“每次三人贏,三人輸!” 這給人一種強烈的印象,好像它是公平的。但如果三個骰子上顯示的數字每次都不同,那麼這個賭局確實是公平的。每次搖籠後,操縱者可以從三個輸者那裡贏三元(假設每次下注 1 元),並支付三個贏者 3 元。然而,對於操作員來說幸運的是,相同的數字通常顯示在兩個或三個骰子上。如果有兩個相同數字的骰子,那麼他得到四美元。付三元,返一元。如果有三個相同數字的骰子,他會收到五美元,支付三美元,並賺回兩美元。正是這些雙重和三重數字讓賭場老闆賺了很多錢。

使用公式來計算賭場贏家的比例是一項棘手的工作。普通學生最好把三個骰子落下的216種可能情況都列出來。這時候他們會發現,三個骰子點數不同的情況只有120種,兩個點數相同的有90種,三個點都相同的有6種[*]。假設這個賭博遊戲玩了 216 次並產生了所有 216 個結果。在每場比賽中,六個人每人在六個不同的數字上押一美元。賭場老闆在216場賭博中收集到216*6=1296元[†]。

當三個骰子的點數不同時,他要支付6元(三個獲勝者每個2元),總共120個這樣的情況,所以他支付6*120=720元。當有兩個點數相同的骰子時(總共有90種情況),他必須支付一個點數2*90=180元的人。給有兩個相等點數的人支付3*90=270元。當三個骰子都為一分(共六種情況)時,他要支付6*4=24元。這樣,他一共支付了1194元,淨利潤102元。

102 元除以 1266 元,賭場老闆的利率為 7.8+%。這意味著他可以預期,經過長時間的賭博,每個賭徒下注1美元,他將獲得7.8分多一點。賭徒下任意數量的賭注。在216個案例中,只有91個案例是他的號碼至少出現過一次[‡],所以他贏一美元的概率是91/216,遠小於1/2。

[*] 這個結果可以通過排列組合公式來計算。三個骰子點數不同,可以看成是三個骰子上從1到6的六個數字的排列:A63=6*5*4=120。三個骰子中的兩個數字相同,可以看作是三個骰子從1到6中取兩個數字的排列。 兩個數字單一的骰子可以依次作為三個骰子中的一個,所以有一共三個。這個數字是 3*A62=3*6*5=90。三個骰子的點數從1到6只有6種,一共216例。另一種算法是:三個骰子各取1到6個,六個數字的組合為6*6*6=216——註解

[†] 賭博時,賭徒每人給一美元。如果他贏了,他會拿回兩美元,如果他輸了,他就賠錢。——註解

[‡] 這可以這樣計算:當他選擇一個數字時,有3次獲勝:第一,三個骰子都是他選擇的數字,此時只有一種可能。其次,三個骰子中的兩個是他選擇的數字。此時,另一個骰子取其他五個數字中的任意一個,單獨數的骰子依次為三個,所以數字為 3*5=15 。第三,只有一個骰子是他想要的數字,另外兩個骰子可以是其他5個數字中的任何一個,即5*5=25。但是三個骰子每一個都可以取他想要的數字,所以總共有3*25=75種。以上三種情況一共是75+15+1=91。